關于高斯濾波器的響應和逼近

本文翻譯自關于高斯濾波器響應和逼近的文章(1959)，作為早期高斯濾波器的實現相關論文，分析和設計方法非常經典，值得精讀。

英文原文。

關于高斯濾波器的響應和逼近(On the Response and Approximation of Gaussian Filter)

摘要

本文討論了一種濾波器，其幅頻響應特性為，其中是頻率的函數，是與濾波器帶寬相關的常數。該濾波器的幅度響應曲線具有高斯概率函數的形狀，結果表明，相位響應曲線基本上是線性的。以前的研究人員已經表明，這種濾波器具有出色的瞬態特性，從某種意義上說，它是瞬態信號的最佳濾波器。本文討論了其對脈沖和階躍函數的響應。給出了一種設計高斯濾波器的逼近方法，并給出了這種高斯濾波器逼近的實際響應測試結果。

I. 介紹

對于任何輸入波形，當網絡輸出的波形與輸入的波形相同時，可以說網絡具有理想的瞬態響應。只有純電阻網絡才有這樣的響應。一個濾波器，就其應用本質而言必須是具有非恒定頻率響應的，所以是不能具有這樣理想的響應。濾波器的帶寬越窄，其瞬態響應的失真就越大。因此，具有最小幅度響應展寬(amplitude-response spread)和波形失真(distortion)組合的濾波器可稱為瞬態“最佳”濾波器。

此處選擇脈沖函數和階躍函數作為代表性輸入波形來描述高斯濾波器的特性，因為：1) 這些是瞬態分析相關文獻中最常討論的函數，2) 一旦已知脈沖或階躍響應，線性濾波器對任何波形的響應都可以通過疊加定理獲得。如果帶通濾波器相對于其中心頻率具有低通模擬和相對較窄的帶寬，則可以假設帶通濾波器對濾波器中心頻率處的波的包絡響應與模擬低通濾波器對具有包絡形狀的波的響應相同。為方便起見，本文主要考慮低通高斯濾波器的響應。然而，結果也適用于上述條件下的帶通高斯濾波器。附錄Ⅱ描述了一個實用的高斯帶通濾波器的設計。

低通高斯濾波器的頻率響應特性可以由下式定義：

其中是與帶寬相關的常數。這種濾波器的頻率響應曲線的形狀如圖1所示，與高斯概率分布曲線相同。如下所示，高斯濾波器具有出色的瞬態響應特性，并且可以相對容易地進行函數逼近。

圖1 高斯響應曲線

II. 脈沖響應

如果式(1)的低通高斯濾波器的輸入信號是單位脈沖，則時域輸出由下式給出

其具有圖1所示的高斯形狀，與濾波器的幅度響應特性曲線相同。通過圖2所示的帶通濾波器的脈沖響應波形可以看到，該帶通濾波器的形狀近似為高斯曲線，其具體設計將在第 V 節中進行描述。請注意，是曲線包絡具有圖1的形狀。

讓我們來定義：a) 由于濾波器而引起的脈沖失真為時間響應展寬(time-response spread) 的均方值

圖2 帶通濾波器(圖8)的脈沖響應示波器顯示圖

b) 濾波器的幅度響應展寬(amplitude-response spread) 的均方值

最佳的瞬態濾波器應該具有最小的時間和幅度響應展寬的組合。如果最優性標準是

或者是

其中是加權常數。具有式(5)形式的方程已由諾伯特·維納(N. Wiener, 譯注：維納是控制論創始人, 維納濾波器發明者)求解得到。和具有式(6)形式的方程由 A. Gabor(譯注: 這里應該是D. Gabor即Dennis Gabor，就是大名鼎鼎的因全息技術而獲得諾貝爾獲的丹尼斯·加博爾)求解得到。

現實工程實踐中出現的許多脈沖在形狀上都非常接近高斯曲線。通過高斯濾波器后的高斯脈沖將保持其高斯形狀，但會在時間上展寬(spread out)。這可以表示如下：

讓高斯輸入脈沖由下式給出

其中是決定脈沖展寬的常數。然后

從式(1)和式(8)可以得出

然后

很明顯，任何數量的高斯濾波器級聯都將具有高斯的組合傳遞函數(combined transfer function)。

III. 階躍響應

階躍函數是脈沖函數的積分。鑒于系統假定是線性的，高斯濾波器對單位階躍的響應是此類濾波器對如式(2)所給出的單位脈沖響應的積分，

該等式的曲線繪制在圖3中。我們所構造的高斯帶通濾波器對中心頻率調制的階躍函數的響應波形如圖4所示。請注意，曲線包絡具有圖4的形狀。圖3的響應特性顯示無過沖(no overshoot)、無振鈴(no ringing)、無拖尾(no smear)，并且波形關于其半值點完全對稱。對稱性是高斯濾波器線性相位響應的結果。此外，這意味著過渡是最陡峭的。低通高斯濾波器的(帶寬上升時間)乘積為 0.343，如果響應有非常小或沒有過沖，這非常接近可能的最低值。此(帶寬上升時間)乘積的計算在附錄 I 中給出。簡單的 RC 低通網絡的 (帶寬上升時間) 乘積為0.35非常接近高斯濾波器的。然而，高斯濾波器的幅頻響應曲線的截止頻率的滾降要高得多。事實上，需要使用無限多個級聯的 RC 網絡才能獲得高斯響應曲線。

圖3 高斯濾波器階躍響應

圖4 帶通濾波器(圖8)的階躍響應示波圖

在通帶中具有零衰減和在阻帶中具有無限衰減的矩形濾波器有時被稱為“理想”濾波器(ideal filter)。這種低通濾波器的階躍響應是如圖5所示的函數。

圖5 矩形濾波器的階躍響應

它有 9% 的過沖和 0.445 的 (帶寬上升時間) 乘積。因此，雖然這樣的濾波器具有比高斯濾波器更陡峭的截止頻響，但它不是瞬態的理想濾波器。此外，矩形響應特性比高斯響應特性更難逼近。通過巴特沃斯、切比雪夫或勒讓德多項式對矩形響應特性的逼近導致濾波器具有比相同階數的高斯濾波器更銳的截止頻率滾降，但此類濾波器不可避免地會產生明顯的過沖，這主要是由于其相位響應特性的非線性所導致的。

與濾波器的瞬態響應密切相關的一個問題是濾波器對變頻率信號的響應。對于頻率隨時間線性變化的信號，在其性能明顯改變之前，高斯濾波器的掃描速度大約是矩形濾波器掃描速度的八倍。高斯濾波器不會顯著的改變其性能的條件是，其中是以為單位的掃描速率，是以為單位的濾波器帶寬。(譯注：在頻譜分析儀中，其中的中頻濾波器就是高斯響應濾波器，其中RBW就是在調整濾波器的帶寬)

IV. 相位響應

我們必須在這里區分“理論”高斯濾波器和通過物理器件獲得的“可實現”的高斯濾波器。理論上的低通高斯濾波器是其頻響由式(1)給出的濾波器，將其重寫為

即，理論上的低通高斯濾波器對所有頻率都具有零相移。由于我們通常不能同時規定物理上可實現的傳遞函數的相位和幅度，我們最多可以讓

并檢查相位函數是否存在使得

能在物理上實現。

可以證明，式(13)的幅度響應函數不可能附加相位函數，因為式(13)不滿足佩利-維納準則(Paley-Wiener criterion)：

圖1和圖3也顯示了為什么不存在這樣的相函數。注意到，高斯濾波器對在處所施加的脈沖或階躍函數的時間響應從開始。顯然，物理網絡不是預測器，即在施加激勵之前它可能沒有任何響應。因此，如果響應要從而不是開始，則有必要將響應延遲無限長的時間。同樣的問題出現在任何銳截止濾波器中，包括圖5的矩形濾波器。然而，下面將顯示高斯濾波器的相位響應可以假定為線性的。

一種低通高斯濾波器的逼近方法是使用大量具有級聯放大器的低通 RC 網絡。這樣一系列相同級的相位函數 (濾波器的-截止點為其) 是

其中是表示級數的整數。對于

式(16)變為

即相位響應是線性的，斜率為。當時，幅度響應接近高斯函數式(13)，相位響應接近完美線性和無限的斜率值。

當使用伯德圖時，會得到類似的結果。任何頻率的相角由給出，即

其中是以奈培(neper)為單位相對應于的衰減。

其中

因此有:

這是無法實現的。通過集總物理元件構建的任何濾波器的頻率響應可以表示為以為變量多項式的比率。

在極高頻率下，只有具有最大指數的項才有效，即，對于極高頻率，幅度響應由下式給出

其中是高頻極限下有效元件的數量。

通過集總物理元件實現的高斯濾波器的幅度響應，無論怎么逼近，都將在高頻極限由式(21)而不是式(19)給出?，F在假設一個可實現的低通高斯濾波器的幅度響應由式(19)給出，直到頻率，該頻率遠高于任何感興趣的頻率，并且對于所有超過的頻率，由式(21)給出。忽略過渡區域，則式(18)可以寫成

因此，隨著濾波器逼近于高斯濾波器的區域增加，相位響應線性區域及其斜率也增加。

線性相位響應是我們所希望的，因為對于給定的幅度響應特性，它會產生最小的瞬態失真，因為線性相位響應意味著每個頻率分量的時間延遲都相等。一般而言，期望相位響應線性度最好延伸超過幅度響應曲線下面積的 90% 以上，這對于高斯曲線來說大約是12dB的范圍。

圖6顯示了測試的濾波器的相位響應，其中也顯示了幅度響應?？梢钥闯?，線性相位延伸到了重要的低衰減區域以外。該濾波器的脈沖響應和階躍響應的波形如圖2和4所示。這些響應的對稱性證實了相位響應線性度延伸到頻率響應特性的相當大的部分。

圖6 濾波器(圖8)的幅頻和相頻響應

V. 逼近和實現

如第 IV 節所描述的，高斯濾波器可能僅以無限延遲為代價才能實現，因此需要無限數量的元件。這也是其他銳截止濾波器的情況，例如矩形濾波器。然而，高斯濾波器在最重要的區域 (即低衰減頻帶) 上相對容易逼近。許多研究者建議使用一系列 RC 低通網絡和放大器級聯以逼近高斯形狀，但這并不代表放大器級的最有效的利用。

如果使用更有效的級間耦合網絡，則可以用更少的級來逼近高斯濾波器。Wente提出了一種方便的方案，如圖7所示的串聯峰化(series-peaking)類型濾波器。除其他優點外，它具有簡單的低通模擬電路結構。

圖7 Wente提出的串聯峰化網絡。(a) 低通 (b) 帶通

假設需要通過5級級聯進行逼近，然后網絡元件值最好通過高斯函數的冪級數展開來獲得，如下所示：

1) 設要實現的高斯濾波器的幅度響應為

其中對于低通濾波器：，對于帶通濾波器：

是與帶寬相關的常數。

2) 對高斯函數的平方冪級數展開直到 20 次方：

是可實現函數。它的分母是，它的所有極點都在左半平面。

3) 利用以下關系找到：

代入，并僅使用平面左半部分的因子，得出

和的值可以從式(24)和式(25)中獲得。高斯函數逼近于的具體實現，如式(26)中給出的，即，乘積通過圖7所示類型電路的5個級聯得到5個左半平面多項式。

4) 通過比較式(26)的每個多項式因子與圖7網絡的傳輸方程，從而獲得每個級間網絡的元件值。

從式(25)可以得到，第1-3級具有單調下降的幅頻響應，而第4和5級具有雙峰幅頻響應。附錄II給出了5級帶通逼近高斯濾波器的設計方程。(該濾波器的原理圖如圖8所示，其測得的頻率和相位響應如圖6所示)。上述冪級數逼近如圖9的曲線(d)所示。曲線(a)是理論的高斯曲線。曲線(b)是歸因于湯姆遜(Thomson)，他的逼近基于最大平坦時間延遲響應。曲線(c)歸因于Wente，他使用了圖7(a)中所示的5個電路級聯，每個級的值為。冪級數展開給出了對高斯形狀的最佳逼近，如圖9所示。

圖8 高斯帶通濾波器的5級逼近電路圖

圖9 高斯響應逼近: (a) 理想高斯濾波器曲線 (b) 湯姆遜逼近 (c) Wente逼近 (d) 冪級數逼近

VI. 結論

已經表明，高斯濾波器具有優異的瞬態特性，這可以從其脈沖和階躍響應以及其對可變頻率信號的響應中得到證明。它還具有線性相位響應、相當尖銳的幅頻截止響應，并且相對容易逼近，這一點可以從5個級間耦合網絡的逼近值降到約45dB的事實中得到證明。

附錄 I

高斯濾波器的 (帶寬上升時間) 乘積

低通高斯濾波器頻率響應由下式給出

根據3dB帶寬求解，可以得到：

對于低通高斯濾波器，單位階躍響應由式(11)給出

此函數以如下形式列出

如果我們令，我們得到與式(28)相同形式的式(11)，即

以表示的 (0.1 到 0.9) 上升時間為 2.6，并且

然后 (帶寬上升時間) 乘積

附錄 II

帶通濾波器逼近的設計公式

逼近值由式(26)給出

是根據的獲得的，如下所示：從式(23)

其中是帶通濾波器的中心頻率，是3dB帶寬。

式(26)現在可以寫成以下形式

和的值作為(電路級編號) 的函數是從式(24)、(25)和(32)中獲得的，如下表所示：

圖7(b)電路網絡的等效電路如圖10所示

圖10 圖7(b)電路網絡的等效電路圖

經過以下變換后：

圖10網絡的傳遞函數由下式給出

其中和和與通常定義的一樣，分別指的是和(圖10) 。

現令式(33)和式(36)的系數相等，即

如果圖7所示管子的參數是電子管在陽極電流時的參數，則每級在的增益取為，并且同時聯立以上方程，需要的設計方程為：

其中

其中是在的值。

和已給出。我們現在有 9 個未知數：和和以便包含和的調諧電路在處諧振。在剩下的 7 個未知數中，3 個可以由設計者選擇，另外 4 個從式(38)到式(42)獲得。

建議選擇和而不是其他變量。和是最昂貴的元件，而是對每級增益至關重要的元件。例如，在整個濾波器 (或整個濾波器組，如在頻譜分析儀中) 中選擇相同的和是可能的，也是可取的。通常，每個級所需的和會有所不同，但這些可以很容易地通過額外串聯或并聯的電阻來進行調整。

審核編輯：湯梓紅